Factorizacion

¿Cuál es la importancia de la factorización?

La factorización ha sido un tema del cual han tratado numerosos matemáticos importantes, haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas, específicamente con la solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.

La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático para “transformar” una expresión algebraica de manera conveniente, para resolver algún problema.

Tiene una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de ecuaciones algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorización surge ante la necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado

Caso 01 - Factor Común

►Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.

►Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio. 

►El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior

Caso 02 - Factor Común por Agrupación de Términos

►Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1).

Caso 03 - Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

►El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).

►Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).

Caso 04 - Diferencia de Cuadrados Perfectos

► Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.

►Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 8n, 10m, 16b, etc.)

Caso 05 - Diferencia de Cuadrados Perfectos

►Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

►Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Caso 06 - Trinomio de la Forma x2+bx+c

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

►Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (x^2).

►Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo). 

►Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Caso 07 - Trinomio de la Forma ax2+bx+c

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x^2) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

►Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “ax^2” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “ax^2” de la manera ax^2.

►Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino(ax)^2 la que seria “ax”.

►al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

►El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

►Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Caso 08 - Cubo Perfecto de Binomios

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:

►Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

►Dos de sus términos, el 1º (anumero) y el 4º (bnumero), deben poseer raíz cúbica exacta.

►El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)2(b)].

►El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)numero].

►El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).

►Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b)Cubo perfecto de binomios (cuatrinomio), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b)Cubo perfecto de binomios (cuatrinomio).

Caso 09 - Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

Se deducen las siguientes reglas:

►La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

►La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Caso 10 - Diferencia de dos Potencias Iguales

Recomendaciones Generales para Factorizar

►Siempre inicie revisando si el polinomio tiene factor común (caso 1). Si efectivamente lo hay, extráigalo y revise si se puede factorizar lo que queda dentro del paréntesis. 

►Si usted tiene un binomio, ensaye con los casos 3 y 7 (revise las características). 

►Si usted tiene un trinomio, ensaye los casos 4, 5 y 6 (revise las características). 

►Si usted tiene un polinomio de cuatro, seis o más términos (número par), ensaye el caso 2. 

►Siempre que realice una factorización inspeccione los factores obtenidos para ver si pueden ser factorizados nuevamente